阿诺尔德的数学题目

阿诺尔德的数学题目

上周我们介绍了一题出自于阿诺尔德的谜题集《给5岁到15岁小孩的问题》,本周我们再挑一题来跟大家分享。由于篇幅限制,答案很快就会出现在题目后面,因此如果想挑战一下的朋友,请遮住题目以下的文字:

题目:美国标准考试中有一道题:「一直角三角形的斜边为10英寸,而斜边上的高是6英寸,请问面积是多少?」十多年来,美国学生已经成功解出答案30平方英寸,但莫斯科的同龄学生仍无法解出,请问为什么?

再提供答案之前,我们先给一个关键字提示「外接圆」。

答案是,这个三角形根本不存在。我们可以从外接圆的角度来思考,一个直角三角形的外接圆,斜边必然是直径。你可以现在拿一张纸画个圆与一条直径,然后,在半圆上随便画一个点,将该点与直径两点连线,形成一个直角三角形,比方说,你可以画一个边长是( 6,8,10)的直角三角形,根据面积是24,斜边高的长度就是4.8。在半圆上选择不同位置点下去,会有不同样貌的直角三角形,斜边高也会有所不一样。你可以想像看看,当这个点很靠近直径时,斜边高一定很短,因此,最大值必然发生在等腰直角三角形,点距离直径两端点最远,这时的三角形左右对称,斜边高从直径的正中间,也就是圆心出发,拉到圆周上的一个点,长度自然就是半径5。尽管已经是最长了,依然不到6。

有兴趣的朋友也可以思考看看,还有没有别的方法来证明这个三角形不存在,例如在数感实验室的粉丝页上,即有网友利用算数平均数大于等于几何平均数的算几不等式来证明。阿诺尔德透过这题想表达的,很多时候我们已经跟「题目」建立起了某种默契,看到题目就知道该怎么反射性的解题,但其实这只是计算练习,而真正的数学,是充满思考与讨论的。

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